ثابت ریاضی \(e\) یا عدد اویلر از کجا آمده است؟

نوسانگر هماهنگ

در فیزیک، نوسانگر هماهنگ بنیادی‌ترین مدل برای یک شیء مرتعش است. از آنجا که همه چیز از اشیای مرتعش کوچکی تشکیل می‌شود، لذا می‌توان فهمید که نوسانگر هماهنگ واقعاً خیلی مهم است. معادله‌ی حرکت یک نوسانگر هماهنگ به‌صورت زیر داده می‌شود:$$\ddot x = - a x,$$ که در این‌جا \(x\) مسافت به‌عنوان تابعی از زمان است، \(\ddot x\) مشتق دوم مسافت نسبت به زمان، یا به عبارت دیگر شتاب، است، و \(a\) یک عدد مثبت است (در حقیقت، نسبت بین «ثابت فنر» و جرم است). برای سادگی کار، فعلاً فرض می‌کنیم که \(a = ۱\). بعداً به آسانی می‌توان واحدها را تغییر داد و مقدار واقعی را در آن وارد کرد. بنابراین، $$\ddot x = - x.$$

چنین معادله‌ای را چگونه حل می‌کنیم؟ خب، با توجه به اینکه یک تابع جادویی \(f\) داریم که در رابطه‌ی \(f'=f\) صدق می‌کند، اگر آن را اندکی تغییر دهیم$$g(x)=f(cx),$$خواهیم داشت:$$g'=cg$$ و $$g''=c^۲g.$$بنابراین، تنها کاری که باید بکنیم، این است که رابطه‌ی $$c^۲=-۱$$ را تأمین کنیم تا معادله‌ی حرکت هماهنگ حل شود. دو عدد برای \(c\) به دست می‌آید که عبارت‌اند از \(i\) و \(-i\). بنابراین، توابع مورد نیاز ما عبارت‌اند از:$$e^{ix}$$ و $$e^{-ix}.$$کل فضای معادله‌ی حرکت صرفاً مجموعه‌ای از ترکیب‌های خطی این دو تابع است، و می‌توانیم جواب را بر اساس شرایط اولیه‌ای که داریم (مسافت اولیه و سرعت اولیه) بنویسیم.

از آنجا که مسافت اولیه و سرعت اولیه اتفاقاً اعداد حقیقی هستند، لذا کل جواب یک تابع حقیقی از زمان است، بنابراین، معمولاً به‌جای دو تابع \(e^{ix}\) و \(e^{-ix}\) از دو ترکیب خطی آشنای آن‌ها، \(\sin(x)\) و \(\cos(x)\)، استفاده می‌کنیم، ولی این صرفاً نوعی تغییر مقادیر پایه است:$$\sin(x)=\frac{۱}{۲i}(e^{ix}-e^{-ix}),$$$$\cos(x)=\frac{۱}{۲}(e^{ix}+e^{-ix}).$$

تابعی که حقیقتاً مبنای حل معادلات دیفرانسیل بنیادی، مانند معادله‌ی نوسانگر هماهنگ، است، تابع نمایی است. توابع مثلثاتی صرفاً ترکیب‌های ساده‌ای از توابع نمایی هستند.

توزیع نرمال

یکی از بنیادی‌ترین قوانین گیتی، قضیه‌ی حد مرکزی است، که بیان می‌کند که اگر چیزهای زیادی را که ذاتاً دارای مقداری عدم اطمینان یا تصادفی بودن هستند، با هم جمع کنید، چیزی شبیه یک منحنی زنگوله‌ای به دست می‌آورید:

به این منحنی، «توزیع نرمال» می‌گویند. علت این نام‌گذاری آن است که تقریباً همه چیز در طبیعت از این توزیع پیروی می‌کند، چرا که خیلی از چیزها مجموع یا متوسط تعداد زیادی چیزهای مشابه هستند. و البته تابعی که این منحنی بسیار مهم را توصیف می‌کند، یک تابع نمایی است:$$f(x \mid \mu, \sigma^۲) = \frac{۱}{\sqrt{۲\pi\sigma^۲} } e^{ -\frac{(x-\mu)^۲}{۲\sigma^۲} }$$(در فرمول فوق، مقادیر میانگین و انحراف معیار پارامترهای توزیع نرمال هستند، ولی به‌طوری که می‌بینید، تابع چگالی احتمال توزیع نرمال اساساً یک تابع نمایی است.)

در این‌جا نیز، دلیل بنیادی این مسئله همان خاصیت مهم مشتق تابع نمایی است؛ در این حالت، منحنی نرمال، حل معادله‌ی$$f'+xf=۰$$است که از قضا همین معادله است که سبب می‌شود که توزیع نرمال این‌قدر در همه جا فراگیر باشد. این تنها تابعی است که تبدیل فوریه‌ی خود آن است.

تبدیل فوریه

تبدیل فوریه یکی از ابزارهای بنیادی در مهندسی، فیزیک، و ریاضیات است. اهمیت آن به آسانی قابل بیان نیست. تعریف تبدیل عمومی فوریه عبارت است از:$$F(f)(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-۲\pi i \omega x} dx$$که در این‌جا نیز عدد محبوب \(e\) یا در واقع، تابع نمایی، را می‌بینیم که در مرکز یک ایده‌ی مهم علم و مهندسی قرار گرفته است. به‌عنوان نمونه، پردازش سیگنال بدون استفاده از تحلیل فوریه امکان‌پذیر نیست—چه در حوزه‌ی آنالوگ و چه دیجیتال.